เลขโรมัน

           เลขโรมัน เป็นระบบตัวเลขที่ใช้ในโรมโบราณ เลขโรมันถือเป็น ระบบเลขไม่มีหลัก หมายความว่า ไม่ว่าจะเขียนตัวเลขแต่ละตัวไว้ ณ ตำแหน่งใดของค่าตัวเลขนั้นจะมีค่าคงที่เสมอ ระบบเลขโรมันมีสัญลักษณ์ที่ใช้กันดังนี้

I หรือ i มีค่าเท่ากับ 1

V หรือ v มีค่าเท่ากับ 5

X หรือ x มีค่าเท่ากับ 10

L หรือ l มีค่าเท่ากับ 50

C หรือ c มีค่าเท่ากับ 100

D หรือ d มีค่าเท่ากับ 500

M หรือ m มีค่าเท่ากับ 1,000

การเขียนเลขโรมัน

            การเขียนเลขโรมัน สามารถเขียนแทนเฉพาะจำนวนเต็มบวกเท่านั้น เนื่องจากในสมัยก่อนโรมยังไม่มีสัญลักษณ์แทนเลขศูนย์หรือเลขทศนิยมโดยให้เขียนจากสัญลักษณ์ที่มีค่ามากแล้วลดหลั่นกันไปยังสัญลักษณ์ที่มีค่าน้อย เช่น

 MCCCXXV มีค่าเท่ากับ 1,000 + 300 + 20 + 5 = 1,325
MMMDLXVII มีค่าเท่ากับ 3,000 + 500 + 60 + 7 = 3,567

ถ้าเขียนสัญลักษณ์ที่มีค่าน้อยกว่าไว้ด้านหน้าสัญลักษณ์ที่มีค่ามากกว่า ค่าของจำนวนที่ได้จะมีค่าเท่ากับจำนวนที่มีค่ามากลบด้วยจำนวนที่มีค่าน้อย และจะเขียนสัญลักษณ์เพียงคู่เดียวในแต่ละหลักเท่านั้น เช่น

IX มีค่าเท่ากับ 10 − 1 = 9
XL มีค่าเท่ากับ 50 − 10 = 40
MCMLXXVII มีค่าเท่ากับ 1,000 + (1,000 − 100) + 70 + 7 = 1,977
MMCDLXVIII มีค่าเท่ากับ 2,000 + (500 − 100) + 60 + 8 = 2,468

จำนวนที่มีค่าเกินกว่าที่กำหนดไว้ตามสัญลักษณ์ดังกล่าว จะเขียน บาร์ (ขีด) ไว้บนสัญลักษณ์เหล่านี้ ซึ่งหากบาร์ถูกกำหนดไว้บนสัญลักษณ์ใด สัญลักษณ์นั้นจะแทนจำนวนซึ่งมีค่าเท่ากับสัญลักษณ์นั้นคูณด้วย 1,000 เช่น

V มีค่าเท่ากับ 5 × 1,000 = 5,000
X มีค่าเท่ากับ 10 × 1,000 = 10,000
L มีค่าเท่ากับ 50 × 1,000 = 50,000
C มีค่าเท่ากับ 100 × 1,000 = 100,000
D มีค่าเท่ากับ 500 × 1,000 = 500,000
M มีค่าเท่ากับ 1,000 × 1,000 = 1,000,000

เลขโรมัน เลขอารบิก ค่าของตัวเลข เลขโรมัน เลขอารบิก ค่าของตัวเลข

I 1 หนึ่ง C 100 หนึ่งร้อย
II 2 สอง CC 200 สองร้อย
III 3 สาม CCC 300 สามร้อย
IV 4 สี่ CD 400 สี่ร้อย
V 5 ห้า D 500 ห้าร้อย
VI 6 หก DC 600 หกร้อย
VII 7 เจ็ด DCC 700 เจ็ดร้อย
VIII 8 แปด DCCC 800 แปดร้อย
IX 9 เก้า CM 900 เก้าร้อย
X 10 สิบ M 1,000 หนึ่งพัน
XI 11 สิบเอ็ด MM 2,000 สองพัน
XII 12 สิบสอง MMX 2,010 สองพันสิบ
XX 20 ยี่สิบ MMDLIII 2,553 สองพันห้าร้อยห้าสิบสาม
XXX 30 สามสิบ MMM 3,000 สามพัน
XL 40 สี่สิบ MMMCMXCIX 3,999 สามพันเก้าร้อยเก้าสิบเก้า
L 50 ห้าสิบ 
LX 60 หกสิบ 
LXX 70 เจ็ดสิบ 
LXXX 80 แปดสิบ 
XC 90 เก้าสิบ

ตรรกศาสตร์

ประพจน์
ประพจน์ คือประโยคหรือข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
ตัวอย่าง

•  เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้  → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ

• ใครทำจานแตก → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง

นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม
กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ

เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้

1.  ตัวเชื่อมประพจน์ "และ"

การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)

2.  ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)

3.  ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว"

การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)

4.  ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ"

การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน

5.  นิเสธของประพจน์

นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ pได้ด้วย ~p

ประพจน์ที่สมมูลกัน และประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้

p ∧ q	สมมูลกับ	q ∧ p
p ∨ q	สมมูลกับ	q ∨ p
(p ∧ q) ∧ r	สมมูลกับ	p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r	สมมูลกับ	p ∨ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r)	สมมูลกับ	(p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r)	สมมูลกับ	(p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
p → q	สมมูลกับ	~p ∨ q
p → q	สมมูลกับ	~q → ~p
p ⇔ q	สมมูลกับ	(p → q) ∧ (q → p)

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้

~(p ∧ q)	สมมูลกับ	~p ∨ ~q
~(p ∨ q)	สมมูลกับ	~p ∧ ~q
~(p → q)	สมมูลกับ	p ∧ ~q
~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)
~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)

พิสูจน์ประพจน์ที่สมมูลกัน ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้ p ∧ q   สมมูลกับ q ∧ p p ∨ q  สมมูลกับ q ∨ p (p ∧ q) ∧ r  สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r  สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r) p ∧ (q ∨ r)  สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)  สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) p → q  สมมูลกับ ~p ∨ q p → q  สมมูลกับ ~q → ~p p ⇔ q  สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p) ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้ ~(p ∧ q)  สมมูลกับ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q)  สมมูลกับ ~p ∧ ~q ~(p → q)  สมมูลกับ p ∧ ~q ~(p ⇔ q)  สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p) ~(p ⇔ q)  สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p) พิสูจน์

จะเห็นว่า p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p

         ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q เป็นนิเสธของ p ∧ q