สถิติเบื้องต้น

ความหมายของสถิติ

ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล   หมายถึง  ข้อเท็จจริงของเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่เราสนใจจะศึกษา   ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้
- จำนวนคนที่เป็นโรคหัวใจในแต่ละเดือน
- ปริมาณการส่งออกข้าวของประเทศไทยในปีนี้เพิ่มขึ้นจากปีที่แล้ว

     การจำแนกข้อมูล
1.ข้อมูลที่จำแนกตามลักษณะของข้อมูล   แบ่งเป็น  2   ประเภท
1.1   ข้อมูลเชิงปริมาณ   คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง
1.2   ข้อมูลเชิงคุณภาพ   คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขโดยตรงได้   แต่วัดออกมาในเชิงคุณภาพได้  เช่น  เพศของสมาชิกในครอบครัว   ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลประเภทนี้   ส่วนใหญ่ทำโดยการนับจำนวนจำแนกตามลักษณะเชิงคุณภาพ
2.   ข้อมูลจำแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม
2.1   ข้อมูลปฐมภูมิ   คือ   ข้อมูลที่ได้จากการรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาโดยตรง
2.1.1   การสำมะโน  คือ   การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรที่ต้องการศึกษา
2.1.2   การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง  คือ   การเก็บรวบรวมข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแทนจากทุกลักษณะของประชากรที่ต้องการศึกษา
    ในทางปฏิบัติ   ไม่ว่าจะทำการสำมะโนหรือการสำรวจ  นิยมปฏิบัติอยู่  5   วิธี  คือ
   1.   การสัมภาษณ์  นิยมใช้กันมาก  เพราะจะได้คำตอบทันที   นอกจากนี้หากผู้ตอบไม่เข้าใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้   แต่ผู้สัมภาษณ์ต้องซื่อสัตย์   และเข้าใจจุดมุ่งหมายของการเก็บข้อมูลอย่างแท้จริง
   2.   การแจกแบบสอบถาม   วิธีนี้ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมาก  สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม   แต่ก็มีข้อเสียหลายประการ  เช่น  ต้องใช้ในเฉพาะที่มีการศึกษา  มีไปรษณีย์ไปถึง   คำถามต้องชัดเจน  อาจจะไม่ได้รับคืนตามเวลาหรือจำนวนที่ต้องการ   จึงต้องส่งแบบสอบถามออกไปเป็นจำนวนมากๆ   หรือไปแจกและเก็บด้วยตนเอง
   3. การสอบถามทางโทรศัพท์  เป็นวิธีที่ง่าย   เสียค่าใช้จ่ายน้อย  ต้องเป็นการสัมภาษณ์อย่างสั้นๆ   ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาหลักฐาน   ใช้ได้เฉพาะส่วนที่มีโทรศัพท์เท่านั้น
   4.   การสังเกต   เป็นข้อมูลที่ได้จากการสังเกตแล้วบันทึกสิ่งที่เราสนใจเอาไว้   ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วงๆของเวลาอย่างต่อเนื่องกัน   ข้อมูลจะน่าเชื่อถือได้มากน้อยขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชำนาญของผู้สังเกต   เช่น  ข้อมูลเกี่ยวกับการใช้บริการต่างๆ  เช่น  บริการรถโดยสาร  การบริการสหกรณ์   ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่างๆ  เป็นต้น   วิธีนี้นิยมใช้ประกอบกับการเก็บข้อมูลวิธีอื่นๆ
   5.   การทดลอง   เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลที่มีการทดลอง  ซึ่งมักจะใช้เวลาในการทดลองนานๆ   ทำซ้ำๆ
2.2   ข้อมูลทุติยภูมิ   คือ   ข้อมูลที่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูล  หรคือแหล่งที่มาโดยตรง   แต่ได้จากข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว
3.   วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลทุติยภูมิ
  

แหล่งที่มาของข้อมูลทุติยภูมิที่สำคัญมีอยู่  2   แหล่ง  คือ
1.   รายงานต่างๆของหน่วยราชการและองค์การของรัฐบาล เช่น   ทะเบียนประวัติบุคลากร  ประวัติคนไข้  ทะเบียนนักเรียนนักศึกษา  เป็นต้น
2.   รายงานและบทความจากหนังสือ  หรือรายงานจากหน่วยงานเอกชน   ซึ่งจะมีการพิมพ์เผยแพร่เฉพาะในส่วนของข้อมูลที่เผยแพร่ได้ในรูปของรายงานต่างๆ

การ บวก ลบ คูณ หาร เศษส่วน

1. การบวกลบเศษส่วน 
    1.1 เศษส่วนชนิดเดียวกัน ให้เอาเศษมาบวกลบกันได้เลย ส่วนส่วนมีค่าคงเดิม
    1.2 เศษส่วนที่มีส่วนไม่เท่ากัน ทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนชนิดเดียวกันก่อน แล้วจึงนำเศษส่วนมาบวกลบกันเหมือนวิธี 1.1


2. การแปลงเศษส่วน 
    การแปลงเศษส่วน หมายถึง การเปลี่ยนแปลงเศษส่วนจากชนิดหนึ่งไปเป็นเศษส่วนอีกชนิอหนึ่ง โดยที่ค่าเศษส่วนชุดเดิมนั้นไม่เปลี่ยนแปลงเช่นเศษส่วนเกินเป็นเศษส่วนคละหรือการแปลงเศษส่วนคละให้เป็นเศษ ส่วนเกิน เป็นต้น
    ตัวอย่าง จงแปลง 5/3 เป็นเศษส่วนจำนวนคละ
วิธีทำ

3. การขยายเศษส่วน การขยายเศษส่วน เป็นการแปลงเศษส่วนอีกลักษณะหนึ่ง โดยให้จำนวนเลขที่เป็น เศษส่วนมีจำนวนมากกว่าเดิม แต่ค่าของเศษส่วนชุดเดิมไม่เปลี่ยนแปลง เช่น

4. การทอนเศษส่วน 
    การทอนเศษส่วน คือ การแปลงเศษส่วนที่ทำให้ตัวเลขทั้งเศษและส่วนน้อยลง โดยค่าของเศษส่วนนั้นไม่เปลี่ยนแปลง 
5.การคูณเศษส่วน 

5.1 จำนวนเต็มคูณเศษส่วน หมายถึง การบวกเศษส่วนที่มีค่าเท่าๆกันหลายๆค่า เช่น 

5.2 เศษส่วนคูณจำนวนเต็ม หมายถึง เศษส่วนของจำนวนเต็ม  เช่น 

5.3 เศษส่วนคูณเศษส่วนหมายถึงการแบ่งเศษส่วนออกเป็นส่วนเท่าๆกันว่ามีค่าเป็นเศษส่วนเท่าไรของทั้งหมด  เช่น 

6. การหารเศษส่วน 
    6.1 การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน หมายถึง การแบ่งจำนวนเต็มออก เป็นส่วนย่อยเท่าๆกันจะได้กี่ส่วน
    6.2 การหารเศษส่วนด้วนจำนวนเต็ม หมายถึง การแบ่งเศษส่วนที่มีอยู่ออกเป็นส่วนเท่าๆกัน

    6.3 การหารเศษส่วนด้วนเศษส่วน หมายถึง การแบ่งเศษส่วนออกเป็นส่วนเท่าๆกัน หาคำตอบได้จากการคูณเศษส่วนที่เป็นตัวตั้งกับส่วนกลับของเศษส่วนที่เป็นตัวหาร  เช่น 

ขอขอบคุณเว็บ http://www.trueplookpanya.com/true/knowledge_detail.php?mul_content_id=239

ทฤษฎีความน่าจะเป็น

ทฤษฎีความน่าจะเป็น คือการศึกษาความน่าจะเป็นแบบคณิตศาสตร์

นักคณิตศาสตร์จะมองความน่าจะเป็นว่าเป็นตัวเลขระหว่างศูนย์กับหนึ่ง ที่กำหนดให้กับ "เหตุการณ์" (ความน่าจะเป็นที่เท่ากับ 0 ก็คือไม่มีโอกาสที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น แต่ถ้าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 แสดงว่าเหตุการณ์เหล่านั้นเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอน) ที่เกิดขึ้นแบบสุ่ม ความน่าจะเป็น P(E) ถูกกำหนดให้กับเหตุการณ์ E ตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้น เมื่อ กำหนด ให้อีกเหตุการณ์ F เกิดขึ้น เรียกว่าความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข ของ E เมื่อให้ F โดยค่าความน่าจะเป็นคือ  (เมื่อ P(F) ไม่เป็นศูนย์) ถ้าความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขของ E เมื่อให้ F มีค่าเช่นเดียวกับความน่าจะเป็น (แบบไม่มีเงื่อนไข) ของ E เราจะกล่าวว่าเหตุการณ์ E และ F เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกันเชิงสถิติ เราจะสังเกตได้ว่าความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์สมมาตร ทั้งนี้เนื่องจากการเป็นอิสระต่อกันนี้เขียนแทนได้เป็น .

แนวคิดหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น โปรดดูบทความหลักสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีหลายแนวคิด แนวคิดหนึ่งที่ได้รับความนิยมมากในสาขาปัญญาประดิษฐ์ และเศรษฐศาสตร์คือ ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์

ขอขอบคุณ http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99

เรขาคณิตแบบยุคิด

เรขาคณิตสมัยแรกเริ่ม

             คำว่าเรขาคณิต แปลมาจากคำว่า Geometry ซึ่งมาจากคำว่า Geometrien เป็นภาษากรีกที่ได้มาจากการผสมคำว่า geo แปลว่าโลกและ metrien แปลว่าการวัด เหตุที่ชื่อดังกล่าว  เนื่องมาจากเราขาคณิตมีต้นกำเนิดมาจากการวัดพื้นโลกชนชาติที่มีความรู้ทางเรขาคณิตมาแต่โบราณ ได้แก่ ชาวแบบิลอน ฮินดู จีน อียิปต์ และโรมัน

              ฮิโรโดตัสแห่งแฮลิคาร์แนซัส (Gerodotus of Halicarnassus ประมาณ 484 ถึงระว่าง 430 และ 420 ปีก่อนคริสต์ศักราช) นักประวัติศาสตร์ชาวกรีกยกย่องว่า นักรังวัดชาวอียิปต์มีส่วนให้กำเนิดวิชาเรขาคณิตในสมัยแรกเริ่ม

              หลักฐานที่เชื่อว่ามนุษย์มีความรู้ทางเรขาคณิตมากกว่า 3,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช ได้แก่ จารึกแผ่นดินเหนียวในแคว้นเมโสโปเตเมีย ซึ่งเป็นของชาวสุเมเรียนอ( 3,000 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ) และชาวแบบิลอน (2,000 - 100 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ) หลักฐานดังกล่าวทำให้ทราบว่าพวกเขามีความรู้ต่อไปนี้ซึ่งมีทั้งถูกและผิด

  สูตรความยาวเส้นรอบวงของวงกลม  = 3 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลาง

  สูตรพื้นที่วงกลม                                 = 1/12 ของกำลังสองของเส้นรอบวง

  ปริมาตรของทรงกระบอก                    = พื้นที่ฐาน X สูง

ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.)

ตัวหารร่วมมาก

นิยาม    กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนเต็ม , a ≠oหรือ b ≠o ,  ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม., greatesr common division : gcd  )ของ a และ b  คือจำนวนเต็มบวก d จำนวนเดียวเท่านั้นที่ใหญ่ที่สุดซึ่งมีคุณสมบัติว่า d | a  และ  d | b

ต่อไปจะเขียนแทน ห.ร.ม. ของ a และ b ด้วยสัญลักษณ์ gcd (a , b)

ตัวอย่าง  จงหาห.ร.ม. ของ 24 และ 36

วิธีทำ

                ตัวหารร่วมของ 24 และ 36 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12

                ดังนั้น gcd(24, 36) = 12

ตัวอย่าง  จงหาห.ร.ม. ของ 17 และ 22

วิธีทำ

                ตัวหารร่วมของ 17 และ 22 คือ 1

                ดังนั้น gcd (17, 22) = 1

นิยาม จำนวนเต็ม a และ b จะเรียกว่า relatively prime ถ้า ห.ร.ม. ของ a และ b คือ 1

ตัวอย่าง  

เนื่องจาก  gcd(17, 22) = 1

ดังนั้น 17 และ 22 เป็น relatively prime

นิยาม จำนวนเต็ม a₁, a₂, … a_nจะเรียกว่า pairwise relatively prime ถ้า gcd(a_i , a_j) = 1

ตัวอย่าง  จงตรวจสอบว่า 10, 17, 21 เป็น pairwise relatively prime หรือไม่

เนื่องจาก  gcd(10, 17) = 1, gcd(10, 21) = 1, gcd(17, 21) = 1

ดังนั้น 10, 17 และ 21 เป็น pair wise relatively prime

การหา ห.ร.ม.

                a  =  p₁^a1 p₂ ^a2…p_n ^an     , b = p₁^b1 p₂ ^b2…p_n ^bn

ดังนั้น

                gcd(a, b) = p₁^{min(a1, b1)} p₂ ^min(a2,b2)…p_n ^{min(an, bn)}

 ตัวอย่าง จงหา หรมของ 120 และ 500

\120 = 2³.3 .5 และ 500 = 2².5³

                ดังนั้น gcd (120, 500) = 2^{min(3,  2)} 3 ^{min(1, 0)}…5 ^{min(1, 3)} = 2²3⁰5¹ = 20

นิยาม     กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนเต็ม , a≠o หรือ b≠o ตัวคูณร่วมน้อย  (ค.ร.น. , least common multiple :  lcm ) ของ a และ b คือจำนวนเต็มบวก m ที่เล็กที่สุดจำนวนเดียวเท่านั้น ซึ่งมีคุณสมบัติว่า a | m   และ  b | m

ต่อไปจะเขียนแทน ค.ร.ม. ของ a และ b ด้วยสัญลักษณ์  lcm (a , b)

ถ้ากำหนด

a  =  p₁^a1 p₂ ^a2…p_n ^an     , b = p₁^b1 p₂ ^b2…p_n ^bn

ดังนั้น

                lcm(a, b) = p₁^{max(a1, b1)} p₂ ^{max(a2, b2)}…p_n ^{max(an, bn)}

ตัวอย่าง  จงหา ค.ร.น.ของ  2³.3⁵ .7² และ 2⁴.3³

                ดังนั้น lcm (2³.3⁵ .7² ,  2⁴.3³) = 2^{max(3,  4)} 3 ^{max(5, 3)}…7 ^{max(2, 0)} = 2⁴3⁵7²

 ขอขอบคุณ staff.buu.ac.th/~seree/310213/chap05.doc

การแยก อัลกอริทึม

Division Algorithm

ทฤษฎี (Division Algorithm) ถ้า a และ d  เป็นจำนวน ซึ่ง d  > 0 แล้ว แล้วมีจำนวนเต็ม q และ r คู่หนึ่งและคู่เดียวเท่านั้น  ซึ่งมีคุณสมบัติว่า

                                a =  dq + r       ,    0 ≤ r < d

                      (ในที่นี้การพิสูจน์จะเว้นไว้)

หมายเหตุ  จากทฤษฎี  ซึ่งได้กล่าวว่า สำหรับทุกๆ a,d € Z , d > 0 จะมี q,r € Z  ซึ่งมีคุณสมบัติว่า 

 a = dq + r   , 0≤ r < d

                เราเรียก  a  ว่า ตัวตั้ง(dividend)

                เรียก  d ว่า  ตัวหาร(divisor) ในการหาร a ด้วย d

                เรียก  q ว่า  ผลตัวหาร(quotient) ในการหาร a ด้วย d

                และเรียก r  ว่า เศษ (remainder)    ในการหาร a ด้วย d

         เราจะเห็นได้ชัดว่า  d เป็นตัวหารที่ลงตัว  ของ a  ก็ต่อเมื่อเศษในการหาร  a  ด้วย  d เท่ากับ 0

                ถ้าทั้ง a และ d เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่  แล้วผลหาร และเศษในการหาร a ด้วย  d  อาจจะหาได้โดยวิธีการหารยาวในทางเลขคณิต

ตัวอย่าง  จงหาผลหารและเศษจาการหาร 101 ด้วย 11

วิธีทำ

                101= 11. 9  + 2

                ดังนั้นเศษคือ 2 และผลหารคือ 9

ตัวอย่าง  จงหาผลหารและเศษจาการหาร -11 ด้วย 3

วิธีทำ

                -11= 3(-4)  + 1

                ดังนั้นเศษคือ 1 และผลหารคือ -4

 ข้อสังเกตุ เศษที่เหลือจากการหารจะไม่เป็นจำนนวนลบ จากตัวอย่างข้างต้น เศษที่เเหลือจากการหารจะไม่เป็น -2 ถึงแม้ว่า -11 = 3(-3) - 2 เนื่องจาก r = -2 จะไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กล่าวว่า

 0≤ r < 3

ขอขอบคุณ staff.buu.ac.th/~seree/310213/chap05.doc

การหารที่ลงตัว และ Division Algorithm

นิยาม  สำหรับทุกๆ a , bเป็นจำนวนเต็ม  ซึ่ง a ≠ 0ในกรณีที่ a เป็นตัวหารที่ลงตัวหรือ แฟกเตอร์ ของ b  เราอาจกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า

                                a หาร b ได้ลงตัว                                

                                b หารด้วย a  ได้ลงตัว

                                b เป็น multiple ของ a

                สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทน ” a เป็นตัวหารที่ลงตัวของb “ เรานิยมเขียนแทนด้วย a | b และในกรณีที่ a ไม่เป็นตัวหารที่ลงตัวของ b  เราเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a \/ b

                จะสังเกตว่าจากนิยาม ตัวหารที่ลงตัวจะต้องไม่เท่ากับ 0 เสมอ ดังตัวอย่าง ถ้าเราเขียนว่า

x | y    เป็นที่เข้าใจกันว่า x ≠ 0 

ทฤษฎี  ให้ a , c และ b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้

1.        ถ้า a | b และ a | c แล้ว a | (b + c)

2.        ถ้า a | b แล้ว a | bc สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ

3.        ถ้า a | b และ b | c แล้ว a | c

พิสูจน์    1.

                สมมุติให้  a | b และ a | c

                ดังนั้นจากนิยามของการหารลงตัวจะได้ว่ามีจำนวน s และ t ซึ่งทำให้  b= as และ c = at

                  b + c = as + at = a (s + t)

                นั่นคือ  a | (b + c)

ข้อ 2 และ 3 ให้เป็นแบบฝึกหัด

นิยาม     ให้ p เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ซึ่ง p > 1 จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ(prime)ก็ต่อเมื่อแฟกเตอร์ของ p คือ  1 และ p เท่านั้น และจะเรียกจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และไม่เป็นจำนวนเฉพาะว่า composite

ตัวอย่าง  7 เป็นจำนวนเฉพาะ

                9 เป็น composite เนื่องจากหารด้วย 3 ลงตัว

ขอขอบคุณ staff.buu.ac.th/~seree/310213/chap05.doc