ตรรกศาสตร์

ประพจน์
ประพจน์ คือประโยคหรือข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
ตัวอย่าง

•  เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้  → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ

• ใครทำจานแตก → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง

นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม
กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ

เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้

1.  ตัวเชื่อมประพจน์ "และ"

การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)

2.  ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)

3.  ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว"

การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)

4.  ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ"

การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน

5.  นิเสธของประพจน์

นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ pได้ด้วย ~p

ประพจน์ที่สมมูลกัน และประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้

p ∧ q	สมมูลกับ	q ∧ p
p ∨ q	สมมูลกับ	q ∨ p
(p ∧ q) ∧ r	สมมูลกับ	p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r	สมมูลกับ	p ∨ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r)	สมมูลกับ	(p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r)	สมมูลกับ	(p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
p → q	สมมูลกับ	~p ∨ q
p → q	สมมูลกับ	~q → ~p
p ⇔ q	สมมูลกับ	(p → q) ∧ (q → p)

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้

~(p ∧ q)	สมมูลกับ	~p ∨ ~q
~(p ∨ q)	สมมูลกับ	~p ∧ ~q
~(p → q)	สมมูลกับ	p ∧ ~q
~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)
~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)

พิสูจน์ประพจน์ที่สมมูลกัน ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้ p ∧ q   สมมูลกับ q ∧ p p ∨ q  สมมูลกับ q ∨ p (p ∧ q) ∧ r  สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r  สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r) p ∧ (q ∨ r)  สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)  สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) p → q  สมมูลกับ ~p ∨ q p → q  สมมูลกับ ~q → ~p p ⇔ q  สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p) ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้ ~(p ∧ q)  สมมูลกับ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q)  สมมูลกับ ~p ∧ ~q ~(p → q)  สมมูลกับ p ∧ ~q ~(p ⇔ q)  สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p) ~(p ⇔ q)  สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p) พิสูจน์

จะเห็นว่า p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p

         ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q เป็นนิเสธของ p ∧ q